f(x) = begin{cases} frac{1-cos kx}{x^2}, & x | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$x=0$ पर $	ext{L.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{L.H.L.

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$4$

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(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.} = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$x=0$ पर $	ext{L.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{L.H.L.} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{1-\cos kx}{x^2} = \lim_{x 	o 0^-} \frac{2\sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x 	o 0^-} \left( \frac{\sin(\frac{kx}{2})}{\frac{kx}{2}} \cdot \frac{k}{2} ight)^2 = 2 \cdot \frac{k^2}{4} = \frac{k^2}{2}$.अब,$x=0$ पर $	ext{R.H.L.}$ की गणना करें:$	ext{R.H.L.} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}$.हर का परिमेयकरण करने पर:$	ext{R.H.L.} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{(\sqrt{16+\sqrt{x}}-4)(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{16+\sqrt{x}}+4)}{16+\sqrt{x}-16} = \lim_{x 	o 0^+} (\sqrt{16+\sqrt{x}}+4) = \sqrt{16}+4 = 8$.चूँकि फलन $x=0$ पर सतत है,$	ext{L.H.L.} = 	ext{R.H.L.}$:$\frac{k^2}{2} = 8 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $4$ है।

$f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos kx}{x^2}, & x \le 0 \\ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{16+\sqrt{x}}-4}, & x > 0 \end{cases}$ $x = 0$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि फलन $f$, $x = \pi$ पर सतत है, जहाँ $x \neq \pi$ के लिए $f(x) = \frac{1 - \cos[7(x - \pi)]}{5(x - \pi)^2}$ है, तो $f(\pi) =$ का मान क्या है?

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।

यदि फलन $f$ बिंदु $x = \pi$ पर संतत है और $f(x) = \begin{cases} kx+1; & x \leq \pi \\ \cos x; & x > \pi \end{cases}$ है, तो $k$ का मान $\dots \dots \dots$ है।

यदि $f(x) = |x|$ है,तो $f(x)$ है

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{72^x-9^x-8^x+1}{\sqrt{2}-\sqrt{1+\cos x}} & , x \neq 0 \\ a \ln 2 \ln 3 & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $a^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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