int_0^{pi / 2} sin ^5left(frac{x}{2}right) cd | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$. નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{14 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \sin x \, dx$. નિત્યસમ $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^{\pi / 2} \sin ^5 \left(\frac{x}{2}\right) \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$ $I = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^6 \left(\frac{x}{2}\right) \cos \frac{x}{2} \, dx$ ધારો કે $t = \sin \frac{x}{2}$. તેથી $dt = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $2 \, dt = \cos \frac{x}{2} \, dx$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = \sin(0) = 0$. જ્યારે $x = \pi / 2$,ત્યારે $t = \sin(\pi / 4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = 2 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 (2 \, dt) = 4 \int_0^{1/\sqrt{2}} t^6 \, dt$ $I = 4 \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac{4}{7} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^7$ કારણ કે $(\sqrt{2})^7 = 2^3 \cdot \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$,તેથી: $I = \frac{4}{7 \cdot 8 \sqrt{2}} = \frac{1}{7 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{14 \sqrt{2}}$.

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^5\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \sin x \, dx =$

Similar Questions

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 + \sin 3y}{1 + 2\sin y} \right) dy$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_1^5 (|x - 3| + |1 - x|) \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} d x$ નું મૂલ્ય (મૂલ્યો) છે

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{4+9 x^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} (2+3x^2) \cos 3x \, dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module