int_0^{frac{pi}{4}} frac{cos^2 x sin^2 x}{(co | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx$ है। अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \in

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$\frac{1}{6}$

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(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx$ है। अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{	an^2 x \sec^2 x}{(1 + 	an^3 x)^2} \, dx$। माना $u = 	an^3 x$,तब $du = 3 	an^2 x \sec^2 x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $	an^2 x \sec^2 x \, dx = \frac{du}{3}$। जब $x = 0$,तो $u = 0$। जब $x = \frac{\pi}{4}$,तो $u = 1$। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_0^1 \frac{1}{3(1 + u)^2} \, du = \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{1 + u} ight]_0^1$। $I = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} - (-1) ight) = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} ight) = \frac{1}{6}$।

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x \sin^2 x}{(\cos^3 x + \sin^3 x)^2} \, dx =$

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$\int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} \,dx = $

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