int_1^3 frac{log x^2}{log left(16 x^2-8 x^3+x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} dx$. ध्यान दें कि $16x^2 - 8x^3 + x^4 = x^2(16 - 8x + x^2) = x^2(4-x)^2$. अ

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$1$

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(A) माना $I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} dx$. ध्यान दें कि $16x^2 - 8x^3 + x^4 = x^2(16 - 8x + x^2) = x^2(4-x)^2$. अतः,हर $\log(x^2(4-x)^2) = \log x^2 + \log(4-x)^2$ है। इसलिए,$I = \int_1^3 \frac{\log x^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx$. गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $a+b = 1+3 = 4$ है। $x$ को $(4-x)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int_1^3 \frac{\log(4-x)^2}{\log(4-x)^2 + \log x^2} dx$ प्राप्त होता है। $I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_1^3 \frac{\log x^2 + \log(4-x)^2}{\log x^2 + \log(4-x)^2} dx = \int_1^3 1 dx = [x]_1^3 = 3-1 = 2$. अतः,$I = 1$.

$\int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} d x=\ldots$

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मान लीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ है। तो,अनुक्रम $(a_n)_{n \geq 1}$ क्या संतुष्ट करता है?

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