int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin x-cos x}{1-sin | vedclass

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Question

(C) माना $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx $  $(1)$  गुणधर्म $ \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx $ का उपयो

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(C) माना $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx $  $(1)$  गुणधर्म $ \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx $ का उपयोग करने पर:  $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx $  $ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx $  $(2)$  समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:  $ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} + \frac{\cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} \right) dx $  $ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x - \cos x + \cos x - \sin x}{1 - \sin x \cos x} dx $  $ 2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 0 dx = 0 $  अतः,$ I = 0 $.

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cos x} d x = $

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$\int_{0}^{\pi / 2} \log (\operatorname{cosec} x) d x$ का मान है

मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} \frac{x^{3} \cos 3x}{2+x^{2}} dx$. तो

$m, n \in \mathbb{Z}$ के लिए $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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