एक जनसंख्या $P$,समीकरण $\frac{dP}{dt} = 0.05 P$ द्वारा दिए गए दर से बढ़ती है। तो जनसंख्या कितने वर्षों में दोगुनी हो जाएगी?

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

बैक्टीरिया के एक निश्चित संवर्धन में,वृद्धि की दर उस समय मौजूद बैक्टीरिया की संख्या के समानुपाती होती है। यदि $3$ घंटे के अंत में $10,000$ बैक्टीरिया और $5$ घंटे के अंत में $40,000$ बैक्टीरिया पाए जाते हैं,तो शुरुआत में मौजूद बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।

एक वक्र $y=f(x)$ के किसी भी बिंदु पर ढाल $\frac{dy}{dx}=3x^2$ द्वारा दी गई है और यह $(-1,1)$ से होकर गुजरता है। वक्र का समीकरण है

$y^{\prime} = 2 \sqrt{y}$ और $y(0) = 0$ को संतुष्ट करने वाले अवकलनीय फलनों $y: (-\infty, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $S$ वास्तविक संख्याओं $p$ का समुच्चय है ताकि कोई भी गैर-शून्य निरंतर फलन $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ मौजूद नहीं है जो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ को संतुष्ट करता हो। तो,$S$ है