एक पिंड को $110^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है और $10^{\circ} C$ वाली हवा में रखा जाता है। $1$ घंटे बाद इसका तापमान $60^{\circ} C$ हो जाता है। इसे $30^{\circ} C$ तक ठंडा होने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समय है

वह वक्र,जिसका गुण यह है कि अभिलंब पर कोटि (ordinate) का प्रक्षेप अचर है और उसकी लंबाई $a$ के बराबर है,है:

खुली हवा में एक गीला पदार्थ अपनी नमी के अनुपात में नमी खो देता है। यदि खुली हवा में लटकाया गया एक कपड़ा पहले घंटे के दौरान अपनी आधी नमी खो देता है,तो वह समय $t$,जिसमें $99 \%$ नमी खो जाएगी,है

सत्यापित कीजिए कि फलन $y=c_{1} e^{a x} \cos b x+c_{2} e^{a x} \sin b x,$ जहाँ $c_{1}, c_{2}$ स्वेच्छ अचर हैं,अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0$ का एक हल है।

एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार टैंक के आधार पर वाल्व खोलकर पानी निकाला जाता है। यह ज्ञात है कि जिस दर से जल स्तर गिरता है,वह जल की गहराई $y$ के वर्गमूल के समानुपाती होता है,जहाँ समानुपातिकता स्थिरांक $k > 0$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और छेद की ज्यामिति पर निर्भर करता है। यदि $t$ को मिनटों में मापा जाता है और $k = \frac{1}{15}$ है,तो यदि शुरुआत में पानी $4 \text{ m}$ गहरा है,तो टैंक को खाली करने में लगने वाला समय .......... $\text{min}$ है।

$y' = \frac{y + 1}{x - 1}, y(1) = 2$ के हलों की संख्या क्या है?