int frac{e^{tan ^{-1} x}}{1+x^2}left[left(sec | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$.

Vedclass · Accepted Answer

$\left(	an ^{-1} xight)^2 e^{	an ^{-1} x}+c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$. $x = 	an t$ प्रतिस्थापित करने पर,अतः $dx = \sec^2 t dt$. चूँकि $x > 0$,$t = 	an^{-1} x \in (0, \pi/2)$. ध्यान दें कि $\sec^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec^{-1} \sqrt{1+	an^2 t} = \sec^{-1} \sec t = t$. साथ ही,$\cos^{-1} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = \cos^{-1} \cos 2t = 2t$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{e^t}{1+	an^2 t} [t^2 + 2t] \sec^2 t dt = \int e^t (t^2 + 2t) dt$. सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$: $I = e^t t^2 + c = e^{	an^{-1} x} (	an^{-1} x)^2 + c$.

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x, x>0=$

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यदि $\int {\frac{{{e^x}(1 + \sin x)}}{{1 + \cos x}}} dx = {e^x}f(x) + c$ है,तो $f(x) = $

निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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