int (f(x) g^{prime prime}(x) - f^{prime prime | vedclass

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Question

(C) दिए गए समाकलन के लिए हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int (f(x) g^{\prime \prime}(x) - f^{\prime \prime}(x) g(x))

Vedclass · Accepted Answer

$f(x) g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) g(x) + C$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए समाकलन के लिए हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int (f(x) g^{\prime \prime}(x) - f^{\prime \prime}(x) g(x)) \, dx$। सबसे पहले,समाकलन $\int f(x) g^{\prime \prime}(x) \, dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = f(x)$ और $dv = g^{\prime \prime}(x) \, dx$ लें। तब $du = f^{\prime}(x) \, dx$ और $v = g^{\prime}(x)$ होगा। अतः,$\int f(x) g^{\prime \prime}(x) \, dx = f(x) g^{\prime}(x) - \int f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \, dx$। अब,समाकलन $\int f^{\prime \prime}(x) g(x) \, dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = g(x)$ और $dv = f^{\prime \prime}(x) \, dx$ लें। तब $du = g^{\prime}(x) \, dx$ और $v = f^{\prime}(x)$ होगा। अतः,$\int f^{\prime \prime}(x) g(x) \, dx = g(x) f^{\prime}(x) - \int g^{\prime}(x) f^{\prime}(x) \, dx$। दोनों परिणामों को घटाने पर: $\int f(x) g^{\prime \prime}(x) \, dx - \int f^{\prime \prime}(x) g(x) \, dx = [f(x) g^{\prime}(x) - \int f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \, dx] - [g(x) f^{\prime}(x) - \int g^{\prime}(x) f^{\prime}(x) \, dx]$। यहाँ समाकलन पद $\int f^{\prime}(x) g^{\prime}(x) \, dx$ आपस में कट जाएंगे। अतः,परिणाम $f(x) g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x) g(x) + C$ प्राप्त होता है।

$\int (f(x) g^{\prime \prime}(x) - f^{\prime \prime}(x) g(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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