int {{x^5}{e^{{x^2}}}} dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {{x^5}{e^{{x^2}}}} dx$. ${x^2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$. साथ ही

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}{x^4}{e^{{x^2}}} - {x^2}{e^{{x^2}}} + {e^{{x^2}}} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int {{x^5}{e^{{x^2}}}} dx$. ${x^2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$. साथ ही,${x^4} = {t^2}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int {{x^4} \cdot {e^{{x^2}}} \cdot x dx} = \int {{t^2}{e^t} \cdot \frac{1}{2} dt} = \frac{1}{2} \int {{t^2}{e^t} dt}$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int {u v dt} = u \int v dt - \int (u' \int v dt) dt$: $I = \frac{1}{2} [ {t^2}{e^t} - \int {2t{e^t} dt} ] = \frac{1}{2} {t^2}{e^t} - \int {t{e^t} dt}$. $\int {t{e^t} dt}$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} {t^2}{e^t} - [ t{e^t} - \int {e^t dt} ] = \frac{1}{2} {t^2}{e^t} - t{e^t} + {e^t} + c$. $t = {x^2}$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} {x^4}{e^{{x^2}}} - {x^2}{e^{{x^2}}} + {e^{{x^2}}} + c$.

$\int {{x^5}{e^{{x^2}}}} dx = $

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यदि $n \geq 1$ के लिए $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$ है, तो $c \cdot I_n + n \cdot I_{n-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int x{{\sin }^{ - 1}}x\;dx = $

$\int x \sin^2 x \, dx = $

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