यदि n geq 1 के लिए I_n = int x^n cdot e^{cx} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि, $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करते हुए, जहाँ $\int u \, dv = uv - \int

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$x^n e^{cx}$

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(A) दिया गया है कि, $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करते हुए, जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: माना $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$. तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: $I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$. $I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$. चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$, इसलिए: $I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$. दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर: $c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

यदि $n \geq 1$ के लिए $I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$ है, तो $c \cdot I_n + n \cdot I_{n-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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