यदि int e^{x^2} cdot x^3 , dx = e^{x^2} f(x) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x^2-1}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int e^t \cdot t \, dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = e^t \, dt$: $I = \frac{1}{2} (t e^t - \int e^t \, dt) = \frac{1}{2} (t e^t - e^t) + c$. $I = \frac{1}{2} e^t (t - 1) + c$. अब $t = x^2$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + c$. दिए गए रूप $e^{x^2} f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x^2 - 1}{2}$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(1) = \frac{1^2 - 1}{2} = 0$ है,यह शर्त को संतुष्ट करता है।

यदि $\int e^{x^2} \cdot x^3 \, dx = e^{x^2} f(x) + c$ और $f(1) = 0$ है (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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