int left[ frac{log x - 1}{1 + (log x)^2} righ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \left[ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right]^2 dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता ह

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$\frac{x}{1 + (\log x)^2} + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \left[ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right]^2 dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \left[ \frac{t - 1}{1 + t^2} \right]^2 e^t dt = \int e^t \left[ \frac{t^2 - 2t + 1}{(1 + t^2)^2} \right] dt$. अंश को $(t^2 + 1) - 2t$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int e^t \left[ \frac{t^2 + 1}{(1 + t^2)^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt = \int e^t \left[ \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt$. यह $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ के रूप में है,जहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ है। इस प्रकार,$I = e^t \left( \frac{1}{1 + t^2} \right) + c$. $t = \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

$\int \left[ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right]^2 dx = $

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