int frac{sin 2x}{4 sin^2 x + 9 cos^2 x} , dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx$. माना $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $

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$-\frac{1}{5} \log(4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x) + C$

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(C) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx$. माना $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $dt = (4 \cdot 2 \sin x \cos x - 9 \cdot 2 \cos x \sin x) \, dx$. $dt = (4 \sin 2x - 9 \sin 2x) \, dx$. $dt = -5 \sin 2x \, dx$. अतः,$\sin 2x \, dx = -\frac{1}{5} dt$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-\frac{1}{5} dt}{t} = -\frac{1}{5} \int \frac{1}{t} \, dt$. $I = -\frac{1}{5} \log |t| + C$. $t = 4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x$ वापस रखने पर: $I = -\frac{1}{5} \log |4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x| + C$.

$\int \frac{\sin 2x}{4 \sin^2 x + 9 \cos^2 x} \, dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है)।

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