int frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$. अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1 + \frac{

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$\frac{1}{\sqrt{3}} 	an ^{-1}\left(\frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{3}}ight)+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} dx$. अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} + 1 + \frac{1}{x^{2}}} dx$. हर को $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2) + 3 = (x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}$ के रूप में लिखने पर। अतः,$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{(x - \frac{1}{x})^{2} + (\sqrt{3})^{2}} dx$. माना $t = x - \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 + \frac{1}{x^{2}}) dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t^{2} + (\sqrt{3})^{2}}$. मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{3}}) + c$. $t$ के स्थान पर $x - \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{3}}) + c$.

$\int \frac{x^{2}+1}{x^{4}+x^{2}+1} d x=$

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