int frac{x+sin x}{1+cos x} d x का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x

Vedclass · Accepted Answer

$x 	an \frac{x}{2}+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} ight) dx$$I = \int \left( \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2} ight) dx$अब,पहले पद $\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{x}{2}$ और $dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ लेने पर:$\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} \cdot 2 	an \frac{x}{2} - \int (1) \cdot 	an \frac{x}{2} dx = x 	an \frac{x}{2} - \int 	an \frac{x}{2} dx$.इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:$I = x 	an \frac{x}{2} - \int 	an \frac{x}{2} dx + \int 	an \frac{x}{2} dx + c$$I = x 	an \frac{x}{2} + c$.

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int (e^{2x} + 2e^{x} - e^{-x} - 1) e^{(e^{x} + e^{-x})} dx = g(x) e^{(e^{x} + e^{-x})} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो $g(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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