योगफल ज्ञात कीजिए: sumlimits_{k = 1}^n {kleft | vedclass

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Question

(C) माना $t = 1 + \frac{1}{n}$ है। दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^n k t^{k-1} = 1 + 2t + 3t^2 + \dots + nt^{n-1}$ है।यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है

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$n^2$

Vedclass · Answer

(C) माना $t = 1 + \frac{1}{n}$ है। दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^n k t^{k-1} = 1 + 2t + 3t^2 + \dots + nt^{n-1}$ है।यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है।अनंत श्रेणी के लिए,$\sum_{k=1}^{\infty} k t^{k-1} = (1-t)^{-2}$ होता है।$t = 1 + \frac{1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1-t = 1 - (1 + \frac{1}{n}) = -\frac{1}{n}$ प्राप्त होता है।अतः,योग $(-\frac{1}{n})^{-2} = n^2$ है।

योगफल ज्ञात कीजिए: $\sum\limits_{k = 1}^n {k\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{k - 1}}$

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मान लीजिए $S = 109 + \frac{108}{5} + \frac{107}{5^2} + \ldots + \frac{2}{5^{107}} + \frac{1}{5^{108}}$. तो $(16S - (25)^{-54})$ का मान $............$ है।

$12 + 16 + 24 + 40 + \dots$ श्रेणी के $n$ पदों का योग क्या होगा?

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