frac{1}{x + 1} + frac{1}{2(x + 1)^2} + frac{1 | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{3(x + 1)^3} + \dots \infty$ है। हम जानते हैं कि लघुगणकीय विस्तार: $-\log_e(1 - y)

Vedclass · Accepted Answer

$\log_e\left(1 + \frac{1}{x}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{3(x + 1)^3} + \dots \infty$ है। हम जानते हैं कि लघुगणकीय विस्तार: $-\log_e(1 - y) = y + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + \dots \infty$,जहाँ $|y| माना $y = \frac{1}{x + 1}$ है। तब श्रेणी $-\log_e\left(1 - \frac{1}{x + 1}\right)$ हो जाती है। $= -\log_e\left(\frac{x + 1 - 1}{x + 1}\right) = -\log_e\left(\frac{x}{x + 1}\right)$. $= \log_e\left(\frac{x + 1}{x}\right) = \log_e\left(1 + \frac{1}{x}\right)$.

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{3(x + 1)^3} + \dots \infty = $

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$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{81} + \dots \infty = $

$\cosh^{-1} 2 = $

मान ज्ञात कीजिए: $\log_e \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

$\frac{(a - 1) - \frac{(a - 1)^2}{2} + \frac{(a - 1)^3}{3} - \dots \infty}{(b - 1) - \frac{(b - 1)^2}{2} + \frac{(b - 1)^3}{3} - \dots \infty} = $

श्रेणी $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{6 \times 7} + \dots = $ का योग ज्ञात कीजिए।

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