frac{2}{1} cdot frac{1}{3} + frac{3}{2} cdot | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{3^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3^n} + \frac{1}{n \cdot 3^

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$\frac{1}{2} - \log_e \frac{2}{3}$

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(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{3^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3^n} + \frac{1}{n \cdot 3^n}$ है।योग $S = \sum_{n=1}^{\infty} T_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^n}$।पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1}{2}$।दूसरा भाग लघुगणकीय विस्तार का उपयोग करता है: $-\log_e(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$। $x = \frac{1}{3}$ के लिए,हमें $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^n} = -\log_e(2/3)$ प्राप्त होता है।अतः,$S = \frac{1}{2} - \log_e \left( \frac{2}{3} \right)$।

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{81} + \dots \infty = $

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