धनात्मक दिक-कोसाइन वाली एक रेखा बिंदु $P(2,1,2)$ से होकर गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x+y+z=9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\qquad$ इकाई है।

यदि रेखा $x = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मूल बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा $l$,रेखाओं $l_{1}: \overrightarrow{r}=(3+t)\hat{i}+(-1+2t)\hat{j}+(4+2t)\hat{k}$ और $l_{2}: \overrightarrow{r}=(3+2s)\hat{i}+(3+2s)\hat{j}+(2+s)\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $l$ और $l_{1}$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर $l_{2}$ पर स्थित प्रथम अष्टांश (first octant) में बिंदु के निर्देशांक $(a, b, c)$ हैं,तो $18(a+b+c)$ का मान ........ है।

यदि बिंदु $(2,3,1)$ का रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+2}{-1}$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{1-y}{2}=\frac{z+1}{1}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण $\alpha x+\beta y+\gamma z=24$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ..... है।

समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $\frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है और रेखाओं $\frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत है।

$i + 2j - k$ बिंदु से गुजरने वाले और $r \cdot (3i - j + k) = 1$ तथा $r \cdot (i + 4j - 2k) = 2$ समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।