નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો: $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & m a_1 & b_1 \\ a_2 & m a_2 & b_2 \\ a_3 & m a_3 & b_3 \end{array} \right|$

વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.

$\left|\begin{array}{lll}1990 & 1991 & 1992 \\ 1991 & 1992 & 1993 \\ 1992 & 1993 & 1994\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ અને $B = [b_{ij}]$ એ બે $3 \times 3$ વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે,જ્યાં $b_{ij} = (3)^{(i+j-2)} a_{ji}$,જ્યાં $i, j = 1, 2, 3$. જો $B$ નો નિશ્ચાયક $81$ હોય,તો $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:

જો $\begin{vmatrix} ^9C_4 & ^9C_5 & ^{10}C_r \\ ^{10}C_6 & ^{10}C_7 & ^{11}C_{r+2} \\ ^{11}C_8 & ^{11}C_9 & ^{12}C_{r+4} \end{vmatrix} = 0$ હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ માટે ગુણધર્મ $2$ ચકાસો.