int frac{x+100}{(x+101)^2} e^x , dx = . . . | vedclass

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Question

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \,

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$\frac{1}{x+101} e^x$

Vedclass · Answer

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$. हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x + 100 = (x + 101) - 1$. अतः,समाकलन हो जाता है: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$. $I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$. $I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$. माना $f(x) = \frac{1}{x+101}$. तब $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$. चूंकि व्यंजक $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + C$ है। अतः,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

$\int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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यदि $\int_2^{e}\left[\frac{1}{\log x}-\frac{1}{(\log x)^2}\right] dx = a+\frac{b}{\log 2}$ है,तो:

$\int {{e^x}(1 + \tan x + {{\tan }^2}x)\,dx = } $

$\int {{e^x}\sin x(\sin x + 2\cos x)} \,dx = $

$\int e^{x} \left[ \frac{\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = $ . . . . . . $+ c$.

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