$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\tan \left(x^{2}-1\right)}{x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int\limits_0^x (\tan^{-1} t)^2 dt}}{{\sin x - x}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{{\sin }^{ - 1}}(x + 2)}}{{{x^2} + 2x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक भार एक स्प्रिंग से लटका हुआ है और उसे एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) बल द्वारा कंपन कराया जाता है। समय $t$ पर इसका विस्थापन $s(t)$ समीकरण $s(t) = \frac{A}{c^2 - k^2} (\sin kt - \sin ct)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A, c,$ और $k$ धनात्मक स्थिरांक हैं और $c \neq k$ है। तब $c \to k$ होने पर विस्थापन का सीमांत मान क्या होगा?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + \log x - x}}{{1 - 2x + {x^2}}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n} - [x]}}{{[x]}},$ जहाँ $n \in N$ और $[x]$ का अर्थ $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,का मान ज्ञात कीजिए।