int_{-2}^{2} |x cos pi x| , dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$. चूँकि $f(x) = |x \cos \pi x|$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$.फलन $x \

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$ \frac{8}{\pi} $

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(A) माना $I = \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$. चूँकि $f(x) = |x \cos \pi x|$ एक सम फलन है,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} |x \cos \pi x| \, dx$.फलन $x \cos \pi x$ अंतराल $[0, 2]$ में $x = \frac{1}{2}$ और $x = \frac{3}{2}$ पर अपना चिह्न बदलता है।अतः,$I = 2 \left[ \int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx - \int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx + \int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx \right]$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int x \cos \pi x \, dx = \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2}$.समाकलन का मान निकालने पर:$1$. $\int_{0}^{1/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}$.$2$. $\int_{1/2}^{3/2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{1/2}^{3/2} = -\frac{2}{\pi}$.$3$. $\int_{3/2}^{2} x \cos \pi x \, dx = \left[ \frac{x \sin \pi x}{\pi} + \frac{\cos \pi x}{\pi^2} \right]_{3/2}^{2} = \frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.इन मानों को रखने पर: $I = 2 [(\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^2}) - (-\frac{2}{\pi}) + (\frac{3}{2\pi} + \frac{1}{\pi^2})] = 2 [\frac{4}{\pi}] = \frac{8}{\pi}$.

$ \int_{-2}^{2} |x \cos \pi x| \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

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