int_{0}^{2} [x^{2}] , dx | vedclass

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Question

(C) दिए गए समाकलन $I = \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx$ पर विचार करें। चूंकि महत्तम पूर्णांक फलन $[x^2]$ का मान $x^2 = 1, 2, 3$ पर बदलता है,इसलिए हम अंतराल

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$ 5-\sqrt{2}-\sqrt{3} $

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(C) दिए गए समाकलन $I = \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx$ पर विचार करें। चूंकि महत्तम पूर्णांक फलन $[x^2]$ का मान $x^2 = 1, 2, 3$ पर बदलता है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2]$ को $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ के आधार पर विभाजित करते हैं। $x \in [0, 1)$ के लिए,$x^2 \in [0, 1)$,इसलिए $[x^2] = 0$। $x \in [1, \sqrt{2})$ के लिए,$x^2 \in [1, 2)$,इसलिए $[x^2] = 1$। $x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3})$ के लिए,$x^2 \in [2, 3)$,इसलिए $[x^2] = 2$। $x \in [\sqrt{3}, 2]$ के लिए,$x^2 \in [3, 4]$,इसलिए $[x^2] = 3$। अतः,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2 \, dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} 3 \, dx$। $I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}} + [2x]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} + [3x]_{\sqrt{3}}^{2}$। $I = (\sqrt{2} - 1) + 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 3(2 - \sqrt{3})$। $I = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6 - 3\sqrt{3}$। $I = 5 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$।

$ \int_{0}^{2} [x^{2}] \, dx $

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