यदि u(n) = int_0^{frac{pi}{2}} (1 + sin t)^n | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $u(n) = \int_0^{\pi/2} (1 + \sin t)^n \sin 2t \, dt$. सर्वसमिका $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर: $u(n) = 2 \int_0^{\pi/2}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{129}{15}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $u(n) = \int_0^{\pi/2} (1 + \sin t)^n \sin 2t \, dt$. सर्वसमिका $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ का उपयोग करने पर: $u(n) = 2 \int_0^{\pi/2} (1 + \sin t)^n \sin t \cos t \, dt$. मान लीजिए $x = 1 + \sin t$,तो $dx = \cos t \, dt$. जब $t = 0$,तो $x = 1$. जब $t = \pi/2$,तो $x = 2$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $u(n) = 2 \int_1^2 x^n (x - 1) \, dx = 2 \int_1^2 (x^{n+1} - x^n) \, dx$. समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है: $u(n) = 2 \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} - \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_1^2$. $n = 4$ के लिए: $u(4) = 2 \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{x^5}{5} \right]_1^2 = 2 \left( (\frac{2^6}{6} - \frac{2^5}{5}) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{5}) \right)$. $u(4) = 2 \left( (\frac{64}{6} - \frac{32}{5}) - (\frac{5 - 6}{30}) \right) = 2 \left( \frac{320 - 192}{30} + \frac{1}{30} \right)$. $u(4) = 2 \left( \frac{128}{30} + \frac{1}{30} \right) = 2 \left( \frac{129}{30} \right) = \frac{129}{15}$.

यदि $u(n) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin t)^n \sin 2t \, dt$,जहाँ $n \in N$,तो $u(4) = $

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