frac{1}{2 cdot 3} + frac{1}{4 cdot 5} + frac{ | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left(\frac{e}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)(2n+1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर,$\frac{1}{(2n)(2n+1)} = \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1}$।अतः,$S = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) + \dots$इसे $S = 1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots)$ के रूप में लिखा जा सकता है।हम जानते हैं कि $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$।इसलिए,$S = 1 - \log_e 2$।चूँकि $1 = \log_e e$,इसलिए $S = \log_e e - \log_e 2 = \log_e \left(\frac{e}{2}\right)$।

$\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \frac{1}{6 \cdot 7} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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