sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) ldots(k+r-1) = | vedclass

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Question

(A) माना $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1)$.हम फॉलिंग फैक्टोरियल के गुण का उपयोग करते हैं: $k(k+1) \ldots (k+r-1) = \frac{k(k+1) \ldots (k

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$\frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r)}{r+1}$

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(A) माना $S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1)$.हम फॉलिंग फैक्टोरियल के गुण का उपयोग करते हैं: $k(k+1) \ldots (k+r-1) = \frac{k(k+1) \ldots (k+r) - (k-1)k(k+1) \ldots (k+r-1)}{r+1}$.माना $f(k) = k(k+1) \ldots (k+r-1)$. तब $f(k) = \frac{1}{r+1} [g(k) - g(k-1)]$,जहाँ $g(k) = k(k+1) \ldots (k+r)$.$k=1$ से $n$ तक योग करने पर एक टेलीस्कोपिंग योग प्राप्त होता है:$S_n = \frac{1}{r+1} \sum_{k=1}^n [g(k) - g(k-1)] = \frac{1}{r+1} [g(n) - g(0)]$.चूँकि $g(0) = 0 \cdot 1 \ldots r = 0$,इसलिए $S_n = \frac{g(n)}{r+1} = \frac{n(n+1)(n+2) \ldots(n+r)}{r+1}$.

$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1) =$

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