3 cdot C_0 + 7 cdot C_1 + 11 cdot C_2 + ldots | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ है। हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r}$। अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$।

Vedclass · Accepted Answer

$(2n + 3) 2^n$

Vedclass · Answer

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n} (3 + 4r) C_r$ है। हम जानते हैं कि $C_r = \binom{n}{r}$। अतः,$S = 3 \sum_{r=0}^{n} C_r + 4 \sum_{r=0}^{n} r C_r$। हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^{n} r C_r = n 2^{n-1}$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = 3(2^n) + 4(n 2^{n-1})$ प्राप्त होता है। $S = 3 \cdot 2^n + 2n \cdot 2^n = (2n + 3) 2^n$।

$3 \cdot C_0 + 7 \cdot C_1 + 11 \cdot C_2 + \ldots + (3 + 4n) C_n =$

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