lim _{n} {rightarrow infty}left(frac{1}{1+n^5 | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।सामान्य पद के अंश और हर को $n^5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप

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$\log \sqrt[5]{2}$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।सामान्य पद के अंश और हर को $n^5$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(\frac{r}{n})^4}{(\frac{r}{n})^5+1}$.यह एक रीमान योग है जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\int_0^1 \frac{x^4}{1+x^5} dx$.मान लीजिए $u = 1+x^5$,तो $du = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{du}{5}$.जब $x=0, u=1$ और जब $x=1, u=2$.समाकलन $\frac{1}{5} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{5} [\ln |u|]_1^2 = \frac{1}{5} \ln 2$ हो जाता है।गुणधर्म $a \ln b = \ln b^a$ का उपयोग करने पर,हमें $\ln 2^{1/5} = \ln \sqrt[5]{2}$ प्राप्त होता है।

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ का मान है

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा, $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^3}{(n^2+k^2)(n^2+3k^2)}$ का मान क्या है?

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{r = 1}^{2n} {\frac{r}{{\sqrt {{n^2} + {r^2}} }}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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