lim _{n rightarrow infty}left(frac{1^2}{n^3+1 | vedclass

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Question

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3(1+(r/n)^3)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^2}{1+(r/n)^3}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:$L = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx$.माना $1+x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.$L = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{3} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{3} \log 2$.$a \log b = \log b^a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{3} \log 2 = \log 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^2+1^2} + \frac{n}{n^2+2^2} + \dots + \frac{n}{n^2+n^2} \right]$ का मान है

मान लीजिए $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है और $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n \left[ \frac{k^2}{3^x} \right]$. तो $12 \sum_{j=1}^{\infty} f(j)$ का मान ........... है।

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