int frac{x^4-1}{x^2 sqrt{x^4+x^2+1}} , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx$. वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{x^2 - \frac{1}{x^

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$\frac{\sqrt{x^4+x^2+1}}{x} + c$

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(A) माना $I = \int \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx$. वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $I = \int \frac{x^2 - \frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}} \, dx$. माना $t = x + \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx$. यहाँ $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$,इसलिए $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 2 + 1}} = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - 1}}$. विकल्पों को देखते हुए,हम $f(x) = \frac{\sqrt{x^4+x^2+1}}{x}$ का अवकलन करते हैं। $f(x) = \sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}$. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}}} \cdot (2x - \frac{2}{x^3}) = \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}}$. अतः,समाकलन $\frac{\sqrt{x^4+x^2+1}}{x} + c$ है।

$\int \frac{x^4-1}{x^2 \sqrt{x^4+x^2+1}} \, dx =$

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