int frac{e^x-1}{e^x+1} dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.यह सरल होकर प्राप्त होता है: $I

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$2 \log_e(1+e^x) - x + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \frac{(e^x+1)-2}{e^x+1} dx$.यह सरल होकर प्राप्त होता है: $I = \int (1 - \frac{2}{e^x+1}) dx = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^x+1} dx$.$\int \frac{1}{e^x+1} dx$ का समाकलन करने के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करें:$I = x - 2 \int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx$.माना $t = 1+e^{-x}$,तब $dt = -e^{-x} dx$,जिसका अर्थ है कि $e^{-x} dx = -dt$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = x - 2 \int \frac{-dt}{t} = x + 2 \int \frac{1}{t} dt$.$I = x + 2 \log_e|t| + c = x + 2 \log_e(1+e^{-x}) + c$.चूंकि $1+e^{-x} = \frac{e^x+1}{e^x}$,इसलिए:$I = x + 2 \log_e(\frac{e^x+1}{e^x}) + c = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2 \log_e(e^x) + c$.$I = x + 2 \log_e(e^x+1) - 2x + c = 2 \log_e(e^x+1) - x + c$.

$\int \frac{e^x-1}{e^x+1} dx =$

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