int_0^{frac{pi}{4}} frac{cos ^2 x}{cos ^2 x+4 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4\sin^2 x} dx$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} 	an ^{-1} 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4\sin^2 x} dx$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 + 4	an^2 x} dx$. माना $u = 	an x$,तब $du = \sec^2 x dx$. चूँकि $\sec^2 x = 1 + 	an^2 x = 1 + u^2$,इसलिए $dx = \frac{du}{1+u^2}$. जब $x = 0, u = 0$. जब $x = \frac{\pi}{4}, u = 1$. $I = \int_0^1 \frac{1}{(1+4u^2)(1+u^2)} du$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1+4u^2)(1+u^2)} = \frac{A}{1+4u^2} + \frac{B}{1+u^2}$. $1 = A(1+u^2) + B(1+4u^2)$. $u^2 = -1$ के लिए,$1 = B(1-4) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$. $u^2 = -\frac{1}{4}$ के लिए,$1 = A(1-\frac{1}{4}) \Rightarrow A = \frac{4}{3}$. $I = \int_0^1 (\frac{4/3}{1+4u^2} - \frac{1/3}{1+u^2}) du = [\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} 	an^{-1}(2u) - \frac{1}{3} 	an^{-1}(u)]_0^1$. $I = [\frac{2}{3} 	an^{-1}(2u) - \frac{1}{3} 	an^{-1}(u)]_0^1 = \frac{2}{3} 	an^{-1}(2) - \frac{1}{3} 	an^{-1}(1) = \frac{2}{3} 	an^{-1}(2) - \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{2}{3} 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

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