एक वक्र की स्पर्शरेखा का x-अंतःखंड स्पर्श बिं | vedclass

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Question

(A) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$x-$अंतःखंड के लिए,$Y = 0$ रखें:$-y = \frac{dy}{

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$y\,e^{\frac{x}{y}} = e$

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(A) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$x-$अंतःखंड के लिए,$Y = 0$ रखें:$-y = \frac{dy}{dx}(X - x) \Rightarrow X - x = -\frac{y}{dy/dx} \Rightarrow X = x - y\frac{dx}{dy}$.दिया गया है कि $x-$अंतःखंड कोटि $y$ के बराबर है,इसलिए $x - y\frac{dx}{dy} = y$.इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $y\frac{dx}{dy} = x - y$,या $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} - 1$ प्राप्त होता है।यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = -1$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$ है।$IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = -\frac{1}{y}$.दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = -\ln|y| + C$.चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{1} = -\ln(1) + C \Rightarrow C = 1$.अतः,$\frac{x}{y} = 1 - \ln y \Rightarrow \ln y = 1 - \frac{x}{y}$.दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $y = e^{1 - \frac{x}{y}} = e \cdot e^{-\frac{x}{y}}$.$e^{\frac{x}{y}}$ से गुणा करने पर $y\,e^{\frac{x}{y}} = e$ प्राप्त होता है।

एक वक्र की स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड स्पर्श बिंदु की कोटि (ordinate) के बराबर है। बिंदु $(1, 1)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण है

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