int frac{d x}{sin x+sin 2 x}= | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$ है।$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{6} \log _e|1-\cos x|+\frac{1}{2} \log _e|1+\cos x|-\frac{2}{3} \log _e|1+2 \cos x|+c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$ है।$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.अंश और हर को $\sin x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)}$.माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$. अतः,$I = -\int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 + 2t)} = \int \frac{dt}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{2t + 1}$.स्थिरांकों को हल करने पर: $1 = A(t + 1)(2t + 1) + B(t - 1)(2t + 1) + C(t^2 - 1)$.$t = 1$ के लिए: $1 = A(2)(3) \Rightarrow A = \frac{1}{6}$.$t = -1$ के लिए: $1 = B(-2)(-1) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$.$t = -\frac{1}{2}$ के लिए: $1 = C(\frac{1}{4} - 1) = C(-\frac{3}{4}) \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$.मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (\frac{1/6}{t - 1} + \frac{1/2}{t + 1} - \frac{4/3}{2t + 1}) dt = \frac{1}{6} \ln|t - 1| + \frac{1}{2} \ln|t + 1| - \frac{2}{3} \ln|2t + 1| + c$.$t = \cos x$ रखने पर: $I = \frac{1}{6} \ln|\cos x - 1| + \frac{1}{2} \ln|\cos x + 1| - \frac{2}{3} \ln|2 \cos x + 1| + c$.चूंकि $|\cos x - 1| = |1 - \cos x|$,परिणाम $\frac{1}{6} \ln|1 - \cos x| + \frac{1}{2} \ln|1 + \cos x| - \frac{2}{3} \ln|1 + 2 \cos x| + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{d x}{\sin x+\sin 2 x}=$

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$\int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x + 3 \cos x} \right] dx =$

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