int_0^{pi / 2} log |tan x+cot x| , dx= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log |	an x + \cot x| \, dx$. કારણ કે $	an x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi / 2} \log |	an x + \cot x| \, dx$. કારણ કે $	an x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$. તેથી,$I = \int_0^{\pi / 2} \log |\frac{2}{\sin 2x}| \, dx = \int_0^{\pi / 2} (\log 2 - \log |\sin 2x|) \, dx$. $I = \int_0^{\pi / 2} \log 2 \, dx - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$. $I = \frac{\pi}{2} \log 2 - \int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx$. ધારો કે $2x = t$,તો $2 \, dx = dt$,તેથી $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$. $\int_0^{\pi / 2} \log |\sin 2x| \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log |\sin t| \, dt = \frac{1}{2} 	imes 2 \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = \int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt$. ગુણધર્મ $\int_0^{\pi / 2} \log |\sin t| \, dt = -\frac{\pi}{2} \log 2$ નો ઉપયોગ કરતા. તેથી,$I = \frac{\pi}{2} \log 2 - (-\frac{\pi}{2} \log 2) = \frac{\pi}{2} \log 2 + \frac{\pi}{2} \log 2 = \pi \log 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \log |\tan x+\cot x| \, dx=$

Similar Questions

$\int\limits_a^b [x] \,dx + \int\limits_a^b [-x] \,dx$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તે કોના બરાબર છે?

જો $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ હોય, તો

સંકલન $\int_{4}^{10} \frac{[x^2]}{[(x-14)^2] + [x^2]} dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.

ધારો કે $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે. તો $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{12(3+[x])}{3+[\sin x]+[\cos x]} \right) dx$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module