int_0^pi frac{x sin x}{1+cos ^2 x} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\p

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$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$माना $\cos x = t$,तब $-\sin x dx = dt$. जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$.$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$$I = \frac{\pi}{2} [	an^{-1}(t)]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)]$$I = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\pi^2}{4}$

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

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$\int_{-4}^{4} \log \left(\frac{8-x}{8+x}\right) d x=$

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{\ln(1 + 2x)}{1 + 4x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x = \int_0^1 \frac{\log (1+x)}{1+x^2} d x + \int_0^1 f(x) d x$ है, तो $f(x) =$

यदि $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} [[x] - \sin x] \, dx$ का मान क्या होगा?

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