int_0^pi frac{x sin x}{1+cos ^2 x} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\p

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx \qquad ....(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx$$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ધારો કે $\cos x = t$,તેથી $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=\pi, t=-1$.$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2}$$I = \frac{\pi}{2} [	an^{-1}(t)]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} [	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)]$$I = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{2}] = \frac{\pi^2}{4}$

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{- 1 / 2}^{1 / 2} \{ [x] + \log (\frac{1 + x}{1 - x}) \} dx =$

ધારો કે $f$ એ $[0,1]$ પર વ્યાખ્યાયિત એક સતત વિધેય છે જેથી $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$ થાય. તો,$f$ નો વિસ્તાર

$\int_0^\pi \frac{x \, dx}{1 + \sin x}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1/2}^{1/2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right) dx=$

ધારો કે $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,અને $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. તો,

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module