int_{-pi}^pi frac{x sin x}{1+cos^2 x} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = f(x)$,તે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = f(x)$,તેથી: $I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx - I$. $2I = 2\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$. ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. $I = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = \pi [	an^{-1} t]_{-1}^1 = \pi (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{2}$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx =$

Similar Questions

જો $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ હોય,તો $A$ ની કિંમત શું થાય?

$\int_0^{2 \pi} \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx = $ . . . . . . .

$\int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-1}^{1} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) \, dx = $

જો $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ હોય,તો $\frac{1}{I_2 + I_4} + \frac{1}{I_3 + I_5} + \frac{1}{I_4 + I_6} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module