જો $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ હોય,તો $A$ ની કિંમત શું થાય?

વિધાન $(A)$: $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} [2 \sin x] dx = 0$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે.
કારણ $(R)$: $2 \sin x$ એ $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ અંતરાલમાં ઘટતું વિધેય છે.

$\tan ^{-1}\left[\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^x} d x\right]=$

જો $S_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $n$ એ પૂર્ણાંક હોય,તો $S_{n+1} - S_n =$

$\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx =$

જો $I_{n}=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \, dx$ હોય,તો $I_{13}+I_{11}=$