int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin left(frac{pi}{4} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$. सर्वसमिका $\sin

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x$. सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए: $\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x)$. $\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right) = \sin \left(\pi - (\frac{\pi}{4} - x)\right) = \sin (\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x + \sin x) + \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} d x$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cos x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} d x$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए: $I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x) + \sin(\frac{\pi}{2}-x)} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} d x$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} d x = \sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x = \sqrt{2} [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. अतः,$I = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

Similar Questions

निश्चित समाकल $\int_0^{2a} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-4 \pi}^{4 \pi} \tan ^9 x \sin ^6 x \cos ^3 x \, dx$

$\int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx = $

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{dx}{[x] + [\sin x] + 4}$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module