int_0^pi x sin x cos^4 x , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त हो

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$\frac{\pi}{5}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin(\pi - x) \cos^4(\pi - x) \, dx$$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x (-\cos x)^4 \, dx$$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_0^\pi (x + \pi - x) \sin x \cos^4 x \, dx$$2I = \pi \int_0^\pi \sin x \cos^4 x \, dx$माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$। जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$।$2I = \pi \int_1^{-1} t^4 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 t^4 \, dt$चूंकि $t^4$ एक सम फलन है,$\int_{-1}^1 t^4 \, dt = 2 \int_0^1 t^4 \, dt$।$2I = 2\pi \left[ \frac{t^5}{5} \right]_0^1 = 2\pi \left( \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{5}$$I = \frac{\pi}{5}$

$\int_0^\pi x \sin x \cos^4 x \, dx = $

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$g(\alpha)$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है,जहाँ $\alpha \in R$ और $g(\alpha)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x+\sin^{\alpha} x} dx$ है?

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin x}{2+\sin x}\right) d x=$

$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1-\sin x \cos x} d x = $

यदि $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$ है,तो $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^{\alpha / 3} \frac{f(x)}{f(x)+f\left(\frac{\alpha-3 x}{3}\right)} d x=$

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