g(alpha) के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$. यहाँ,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $a+b = \frac{\pi}{2}$. $g(\alpha

Vedclass · Accepted Answer

$g(\alpha)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$. यहाँ,$a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $a+b = \frac{\pi}{2}$. $g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx$ ... $(i)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\alpha}(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x + \sin^{\alpha} x} dx$ ... $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2g(\alpha) = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x}{\sin^{\alpha} x + \cos^{\alpha} x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$. अतः,$g(\alpha) = \frac{\pi}{12}$,जो एक अचर फलन है। एक अचर फलन न तो निरंतर वर्धमान होता है और न ही निरंतर ह्रासमान। इसलिए,कथन $A$,$B$,और $C$ तीनों गलत हैं।

$g(\alpha)$ के लिए निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है,जहाँ $\alpha \in R$ और $g(\alpha)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin^{\alpha} x}{\cos^{\alpha} x+\sin^{\alpha} x} dx$ है?

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$x > 0$ के लिए,यदि $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ है,तो $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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