int_{-1}^{frac{3}{2}}|x sin (pi x)| d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$. चूँकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin(\pi x) \ge 0$ है, और $x \in [0, 1]$ के लिए

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{\pi}+\frac{1}{\pi^2}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-1}^{3/2} |x \sin(\pi x)| dx$. चूँकि $x \in [-1, 0]$ और $x \in [1, 3/2]$ के लिए $x \sin(\pi x) \ge 0$ है, और $x \in [0, 1]$ के लिए $x \sin(\pi x) \le 0$ है, हम समाकलन को विभाजित करते हैं: $I = \int_{-1}^{0} -x \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx + \int_{1}^{3/2} -x \sin(\pi x) dx$. सम फलन के लिए $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए, ध्यान दें कि $f(x) = x \sin(\pi x)$ एक सम फलन है। अतः, $I = 2 \int_{0}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{3/2} x \sin(\pi x) dx$. खंडशः समाकलन $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करते हुए: $\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$. पहले भाग का मूल्यांकन: $2 \left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{0}^{1} = 2 \left[ (\frac{1}{\pi} + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{2}{\pi}$. दूसरे भाग का मूल्यांकन: $-\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{3/2} = -\left[ (0 - \frac{1}{\pi^2}) - (\frac{1}{\pi} + 0) \right] = \frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}$. दोनों को जोड़ने पर: $I = \frac{2}{\pi} + \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi^2} = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.

$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

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