यदि I_{m, n} = int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} | vedclass

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Question

(C) हमें दिया गया है $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$। $x = \frac{1}{1+y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ प्राप्त हो

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(C) हमें दिया गया है $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$। $x = \frac{1}{1+y}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ प्राप्त होता है। जब $x=0, y 	o \infty$ और जब $x=1, y=0$। अतः,$I_{m, n} = \int_{\infty}^{0} (\frac{1}{1+y})^{m-1} (1 - \frac{1}{1+y})^{n-1} (-\frac{1}{(1+y)^2}) dy = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। इसी प्रकार,$I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। दोनों को जोड़ने पर,$2I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। समाकलन को $y=1$ पर विभाजित करने पर: $2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। दूसरे समाकलन में,$y = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dy = -\frac{1}{t^2} dt$। $\int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = \int_{1}^{0} \frac{(1/t)^{m-1} + (1/t)^{n-1}}{(1 + 1/t)^{m+n}} (-1/t^2) dt = \int_{0}^{1} \frac{t^{n-1} + t^{m-1}}{(t+1)^{m+n}} dt$। अतः,$2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = 2 \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$। इसलिए,$\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1} + x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = I_{m, n}$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 1$।

यदि $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ जहाँ $m, n \geq 1$ है और $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $\alpha$ का मान .... है।

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