int_{-pi / 4}^{pi / 4} x^3 sin ^4(x) d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है। हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,त

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(A) माना $I = \int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin^4(x) dx$ है। हम जानते हैं कि निश्चित समाकलन के लिए,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,अर्थात $f(-x) = -f(x)$,तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ होता है। यहाँ,$f(x) = x^3 \sin^4(x)$ है। $f(-x)$ की गणना करने पर: $f(-x) = (-x)^3 \sin^4(-x) = -x^3 (\sin(x))^4 = -x^3 \sin^4(x) = -f(x)$। चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए सममित अंतराल $[-\pi/4, \pi/4]$ पर इसका समाकलन $0$ होगा। अतः,$I = 0$।

$\int_{-\pi / 4}^{\pi / 4} x^3 \sin ^4(x) d x=$

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$m \neq n$ $(m, n \in I)$ के लिए समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ का मान क्या है?

यदि $I = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{\pi / 2}}$ है, तो

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