int_0^{pi / 2} log _e(sin 2 x) d x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और ज

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$-\frac{\pi}{2} \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$. $2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \frac{1}{2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $t = 0$ और जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $t = \pi$. अतः,$I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt$. गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$,हमें प्राप्त होता है कि $\int_0^{\pi} \log _e(\sin t) dt = 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. इस प्रकार,$I = \frac{1}{2} 	imes 2 \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = \int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt$. यह एक मानक परिणाम है कि $\int_0^{\pi/2} \log _e(\sin t) dt = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$. अतः,$I = -\frac{\pi}{2} \log _e 2$.

$\int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$

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