यदि f(x) = frac{e^x}{1+e^x}, l_1 = int_{f(-a) | vedclass

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Question

(C) सबसे पहले, ध्यान दें कि $f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{e^{-a}}{1+e^{-a}} = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{1}{e^a+1} = \frac{e^a+1}{e^a+1} =

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$2$

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(C) सबसे पहले, ध्यान दें कि $f(a) + f(-a) = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{e^{-a}}{1+e^{-a}} = \frac{e^a}{1+e^a} + \frac{1}{e^a+1} = \frac{e^a+1}{e^a+1} = 1$। मान लीजिए $t = f(-a)$, तो $f(a) = 1-t$। अब, $l_1 = \int_{t}^{1-t} x g(x(1-x)) dx$। गुणधर्म $\int_{A}^{B} h(x) dx = \int_{A}^{B} h(A+B-x) dx$ का उपयोग करने पर: $l_1 = \int_{t}^{1-t} (t + (1-t) - x) g((t + (1-t) - x)(1 - (t + (1-t) - x))) dx$ $l_1 = \int_{t}^{1-t} (1-x) g((1-x)(1-(1-x))) dx = \int_{t}^{1-t} (1-x) g(x(1-x)) dx$। $l_1$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2l_1 = \int_{t}^{1-t} (x + 1 - x) g(x(1-x)) dx = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$। चूंकि $l_2 = \int_{t}^{1-t} g(x(1-x)) dx$, इसलिए $2l_1 = l_2$ प्राप्त होता है। अतः, $\frac{l_2}{l_1} = 2$।

यदि $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$, $l_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g(x(1-x)) dx$ और $l_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g(x(1-x)) dx$ है, तो $\frac{l_2}{l_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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