यदि f(x) = f(Pi + e - x) और int_{e}^{Pi} f(x) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi -

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$1$

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(D) माना $I = \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(e + \Pi - x) dx$.चूँकि $f(e + \Pi - x) = f(x)$,यह हो जाता है:$I = \int_{e}^{\Pi} (e + \Pi - x) f(x) dx = (e + \Pi) \int_{e}^{\Pi} f(x) dx - \int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$.$I = (e + \Pi) \left( \frac{2}{e + \Pi} \right) - I$.$2I = 2$.$I = 1$.

यदि $f(x) = f(\Pi + e - x)$ और $\int_{e}^{\Pi} f(x) dx = \frac{2}{e + \Pi}$ है,तो $\int_{e}^{\Pi} x f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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